Учебное пособие: Разложение функций. Теория вероятностей

В этом случае написанный справа ряд сходится и его сумма равна данной функции f(x).

f(x)=Sn(x)+Rn(x) Rn(x)=f(x)-Sn(x)

Sn(x)-сумма первых членов; Rn(x)-остаток ряда.

Для оценки остатка ряда можно пользоваться формулой:

остаток ряда в формуле Ла-Гранда, где «с» заключено между «а» и «х» (а<с<х).

Если в ряде Тейлора а=0, то ряд примет вид:

Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Макларена.

1. Разложим в ряд Макларена (то есть по степеням х ) функцию e^x .

Получаем разложение функции в ряд Макларена.

f(x)=e^x , f’(x)=e^x ,…, f⁽ⁿ⁾ (x)=e^x ,…; a=0, f(0)=1, f’(0)=1,… f⁽ⁿ⁾ (0)=1

Получаем разложение функции f(x)=e^x в ряд Макларена:

I.

a=0, C_n =1/n!

Приведем разложение в ряд Макларена следующих функций.

II.

III.

IV.

V.

Приближенные вычисления значений с помощью рядов.

ПРИМЕР . Вычислить с точностью до 0,001 число .

;

;

;

e^1/2 =1+0.5+0.125+0.0208+0.0026+0.0003=1.648

Приближенные вычисления интегралов с помощью рядов.

Пример . Функция , с точностью до 0,001.