Учебное пособие: Разложение функций. Теория вероятностей

Р(А*В)=Р(А)*Р_А (В)

Р(А*В)=Р(А)*Р_В (В)

Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытаний может произойти n независимых событий А1,А2…, либо некоторые из них Р(А1)=р1, Р()=q1… Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Теорема .

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2…, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.

Р(А)=1-q₁ q₂ …q_n

Замечание.

Если все события имеют одинаковую вероятность Р, то

Р(А)=1-q_n .

Примеры 82, 87, Д/з.

Формула полной вероятности.

События В₁ ,В₂ ,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁ )+ Р(В₂ )+…+ Р(В_n )=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁ ,В₂ ,…,В_n . Тогда вероятность события А равна сумме вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

Р(А)=Р(В₁ )Р_В1 (А)+ Р(В₂ )Р_В2 (А)+…+ Р(В_n )Р_{В n} (А)

Формула Бейеса

События В₁ ,В₂ ,…,В_n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В₁ )+ Р(В₂ )+…+ Р(В_n )=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В₁ ,В₂ ,…,В_n . Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности.

Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В₁ ,В₂ ,…,В_n могут быть переоценены по формуле Бейеса:

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления (не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит:

а). Менее к раз P_n (0)+P_n (1)+…+P_n (k-1).

б). Более к раз P_n (k+1)+P_n (k+2)+…+P_n (n).

в). не менее к раз P_n (k)+P_n (k+1)+…+P_n (n).

Г). не более к раз P_n (0)+P_n (1)+…+P_n (k).

Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.